理科数学
一、选择题
（1）设函数 ,则实数 =
（A）-4或-2 （B）-4或2 （C）-2或4 （D）-2或2（2）把复数 的共轭复数记作 ，i为虚数单位，若
（A）3-i （B）3 i （C）1 3i （D）3
（3）若某集合体的三视图如图所示，则这个集合体的直观图可以是(4)下列命题中错误的是
（A）如果平面 ，那么平面 内一定存在直线平行于平面
（B）如果平面 不垂直于平面 ，那么平面 内一定不存在直线垂直于平面
（C）如果平面 ，平面 ， ，那么
（D）如果平面 ，那么平面 内所有直线都垂直于平面
（5）设实数 满足不等式组 若 为整数，则 的最小值是
（A）14 （B）16 （C）17 （D）19
（6）若 ， ， ， ，则
（A） （B） （C） （D）
（7）若 为实数，则“ ”是 的
（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件
（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件
（8）已知椭圆 与双曲线 有公共的焦点， 的一条渐近线与以 的长轴为直径的圆相交于 两点， 若 恰好将线段 三等分，则
（A） （B） （C） （D）
（9）有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，，则同一科目的书都不相邻的概率
（A） （B） （C） D
（10）设a，b，c为实数，f（x） =（x a） .记集合S= 若 ， 分别为集合元素S，T的元素个数，则下列结论不可能的是
（A） =1且 =0 （B）
（C） =2且 =2 （D） =2且 =3非选择题部分 （共100分）
二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分
（11）若函数 为偶函数，则实数 = 。
（12）若某程序图如图所 示，则该程序运行后输出的k的值是 。
（13）设二项式（x- ）n(a>0)的展开式中X的系数为A,常数项为B， 若B=4A，则a的值是 。
（14）若平面向量α，β满足|α|≤1，|β|≤1，且以向量α，β为邻边的平行四边形的面积为 ，则α与β的夹角 的取值范围是 。（15）某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公 司投递了个人简历，假定该毕业生得到甲公司面试的概率为 ，得到乙公司面试的概率为 ，且三个公司是否让其面试是相互独立的。记X为该毕业生得到面试得公司个数。若 ，则随机变量X的数学期望
（16）设 为实数，若 则 的最大值是 .。
（17）设 分别为椭圆 的焦点，点 在椭圆上，若 ;则点 的坐标是 .三、解答题;本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
（18）（本题满分14分）在 中，角 所对的边分别为a,b, 且 .
（Ⅰ）当 时，求 的值；
(Ⅱ)若角 为锐角，求p的取值范围；（19）（本题满分14分）已知公差不为0的等差数列 的首项 为a( ),设数列的前n项和为 ，且 ， ， 成等比数列
（1）求数列 的通项公式及
（2）记 ， ，当 时，试比较 与 的大小.
（20）（本题满分15分）如图，在三棱锥 中， ，D为BC的中点，PO⊥平面ABC，垂足O落在线段AD上，已知BC=8，PO=4，AO=3，OD=2
（Ⅰ）证明：AP⊥BC；
（Ⅱ）在线段AP上是否存在点M，使得二面角A-MC-β为直二面 角？若存在，求出AM的长；若不存在，请说明理由。（21）（本题满分15分）已知抛物线 : ＝ ，圆 : 的圆心为点M（Ⅰ）求点M到抛物线 的准 线的距离；
（Ⅱ）已知点P是抛物线 上一点（异于原点），过点P作圆 的两条切线，交抛物线 于A，B两点，若过M，P两点的直线 垂直于 AB，求直线 的方程（22）（本题满分14分）设函数 （I）若 的极值点，求实数 ；（II）求实数 的取值范围，使得对任意的 ，恒有 成立，注： 为自然对数的底数。
2011年高考数学全国卷1
2011年高考题全国卷II数学试题·理科全解全析科目： 数学 试卷名称 2011年普通高等学校招生全国统一考试·全国卷II(理科)知识点检索号新课标题目及解析（1）复数 ， 为 的共轭复数，则 （A） （B） （C） （D） 【思路点拨】先求出的 共轭复数,然后利用复数的运算法则计算即可。【精讲精析】选B. .（2）函数 的反函数为（A） （B） （C） （D） 【思路点拨】先反解用y表示x,注意要求出y的取值范围，它是反函数的定义域。【精讲精析】 中， 且反解x得 ，所以 的反函数为 .（3）下面四个条件中，使 成立的充分而不必要的条件是（A） （B） （C） （D） 【思路点拨】本题要把充要条件的概念搞清，注意寻找的是通过选项能推出a>b，而由a>b推不出选项的选项.【精讲精析】 推不出P，逐项验证可选A。（4）设 为等差数列 的前 项和，若 ，公差 ， ，则 （A）8 （B）7 （C）6 （D）5【思路点拨】思路一：直接利用前n项和公式建立关于k的方程解之即可。思路二：利用 直接利用通项公式即可求解，运算稍简。【精讲精析】选D.（5）设函数 ，将 的图像向右平移 个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则 的最小值等于（A） （B） （C） （D） 【思路点拨】此题理解好三角函数周期的概念至关重要，将 的图像向右平移 个单位长度后，所得的图像与原图像重合，说明了 是此函数周期的整数倍。【精讲精析】选C. 由题 ,解得 ，令 ，即得 . (6)已知直二面角 ，点 ,C为垂足， 为垂足．若AB=2，AC=BD=1，则D到平面ABC的距离等于(A) (B) (C) (D) 1 【思路点拨】本题关键是找出或做出点D到平面ABC的距离DE，根据面面垂直的性质不难证明 平面 ，进而 平面ABC,所以过D作 于E，则DE就是要求的距离。【精讲精析】，作 于E，由 为直二面角， 得 平面 ，进而 ，又 ，于是 平面ABC，故DE为D到平面ABC的距离。在 中，利用等面积法得 .(7)某同学 有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友每位朋友1本，则不同的赠送方法共有(A)4种 (B)10种 (C)18种 (D)20种【思路点拨】本题要注意画册相同，集邮册相同，这是重复元素，不能简单按照排列知识来铸。所以要分类进行求解。【精讲精析】：取出的1本画册，3本集邮册，此时赠送方法有 种；取出的2本画册，2本集邮册，此时赠送方法有 种。总的赠送方法有10种。(8)曲线y= 1在点(0，2)处的切线与直线y=0和y=x围成的三角形的面积为(A) (B) (C) (D)1【思路点拨】利用导数求出点（0，2）切线方程然后分别求出与直线y=0与y=x的交点问题即可解决。【精讲精析】选A. 切线方程是： ,在直角坐标系中作出示意图，即得 。(9)设 是周期为2的奇函数，当0 ≤x≤1时， = ，则 =(A) - (B) (C) (D) 【思路点拨】解本题的关键是把通过周期性和奇偶性把自变量 转化到区间[0,1]上进行求值。【精讲精析】，再利用奇偶性得: .(10)已知抛物线C： 的焦点为F，直线 与C交于A，B两点 ．则 =(A) (B) (C) (D) 【思路点拨】方程联立求出A、B两点后转化为解三角形问题。【精讲精析】 ，消y得 ，解得 .不妨设A在x轴上方，于是A，B的坐标分别为(4,4),(1,-2),可求 ，利用余弦定理 .(11)已知平面α截一球面 得圆M，过圆心M且与α成 ，圆M的面积为4 ，则圆N的面积为(A)7 (B)9 (C)11 (D)13 【思路点拨】做出如图所示的图示，问题即可解决。【精讲精析】，由圆M的面积为4 ，易得 ，中， 。故 .(12)设向量 满足 ，则 的最大值等于(A)2 (B) (c) (D)1【思路点拨】本题按照题目要求构造出如右图所示的几何图形，然后分析观察不难得到当线段AC为直径时， 最大.【精讲精析】，构造，所以A、B、C、D四点共圆，分析可知当线段AC为直径时， 最大，最大值为2.(13)(1- )20的二项展开式中，x的系数与x9的系数之差为: .【思路点拨】解本题一个掌握展开式的通项公式，另一个要注意 .【精讲精析】0. 由 得 的系数为 , x9的系数为 ,而 .(14)已知a∈( ， )，sinα= ，则tan2α= 【思路点拨】本题涉及到同角三角函数关系式,先由正弦值求出余弦值一定要注意角的范围，再求出正切值，最后利用正切函数的倍角公式即可求解。【精讲精析】 .由a∈( ， )，sinα= 得 ,.(15)已知F1、F2分别为双曲线C: - =1的左、右焦点，点A∈C，点M的坐标为(2，0)，AM为∠F1AF2的平分线．则|A F2| = .【思路点拨】本题用内角平分线定理及双曲线的定义即可求解。【精讲精析】： ,故 .(16)己知点E、F分别在正方体ABCD-A1B2C3D4的棱BB 1 、CC1上，且B1E=2EB, CF=2FC1，则面AEF与面ABC所成的二面角的正切值等于 .【思路点拨】本题应先找出两平面的交线，进而找出或做出二面角的平面角是解决此问题的关键,延长EF必与BC相交，交点为P，则AP为面AEF与面ABC的交线.【精讲精析】 .延长EF交BC的延长线于P，则AP为面AEF与面ABC的交线，因为 ，所以 为面AEF与面ABC所成的二面角的平面角。(17)(本小题满分l0分)(注意：在试题卷上作答无效)△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、—C=90°，a c= b，求C.【思路点拨】解决本题的突破口是利用正弦定理把边的关系转化为角的正弦的关系，然后再结合A—C=90°,得到 .即可求解。【精讲精析】 ，得A为钝角且 ，利用正弦定理， 可变形为 ，即有 ，又A、B、C是 的内角，故或 (舍去)所以 。所以 .(18)(本小题满分12分)(注意：在试题卷上作答无效)根据以往统计资料，某地车主购买甲种 保险 的概率为0．5，,设各车主购买保险相互独立(I)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的l种的概率；(Ⅱ)X表示该地的l00位车主中，甲、乙两种保险都不购买的车主数。求X的期望。 【思路点拨】解本题应首先主出该车主购买乙种保险的概率为p,，即可求出p=（ii）利用相互独立事件的概率计算公式和期望公式计算即可.【精讲精析】设该车主购买乙种保险的概率为p,由题意知： ，解得 。（I） 设所求概率为P1，则 .故该地1位车主至少购买甲、。（II） 对每位车主甲、乙两种保险都不购买的概率为 。所以X的期望是20人。（19）如图，四棱锥 中， , ，侧面 为等边三角形， .（Ⅰ）证明： ;（Ⅱ)求 与平面 所成角的大小.【思路点拨】本题第（I）问可以直接证明，也可建系证明。（II）建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算计算把求角的问题转化为数值计算问题,思路清晰思维量小。【精讲精析】计算SD=1， ，于是 ，利用勾股定理，可知 ，同理，可证 又 ， .（II）过D做 ，如图建立空间直角坐标系D-xyz，A(2,-1,0),B(2,1,0),C(0,1,0), 可计算平面SBC的一个法向量是 .所以AB与平面SBC所成角为 .（20）设数列 满足 且 （Ⅰ）求 的通项公式；（Ⅱ）设 【思路点拨】解本题突破口关键是由式子 得到 是等差数列，进而可求出数列 的通项公式.（II）问求出 的通项公式注意观察到能采用裂项相消的方式求和。【精讲精析】 (I) 是公差为1的等差数列，所以 (II) .（21）已知O为坐标原点，F为椭圆 在y轴正半轴上的焦点，过F且斜率为 的直线 与C交与A、B两点，点P满足 (Ⅰ)证明：点P在C上；（Ⅱ）设点P关于点O的对称点为Q，证明：A、P、B、Q四点在同一圆上.【思路点拨】方程联立利用韦达定理是解决这类问题的基本思路，注意把 用坐标表示后求出P点的坐标，然后再结合直线方程把P点的纵坐标也用A、B两点的横坐标表示出来。从而求出点P的坐标代入椭圆方程验证即可证明点P在C上。(II)此问题证明有两种思路：思路一：关键是证明 ，再求正切值时要注意利用倒角公式。思路二：根据圆的几何性质圆心一定在弦的垂直平分线上，所以根据两条弦的垂直平分线的交点找出圆心N，然后证明N到四个点A、B、P、Q的距离相等即可.【精讲精析】 (I)设 直线 ，与 联立得 由 得 ,所以点P在C上。（II）法一： 同理所以 互补，因此A、P、B、Q四点在同一圆上。法二：由 和题设知， ,PQ的垂直平分线 的方程为 …①设AB的中点为M，则 ，AB的垂直平分线 的方程为 …②由①②得 、 的交点为 ,, ,故 . 所以A、P、B、Q四点在同一圆圆N上.（22）（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）（Ⅰ）设函数 ，证明：当 时， ；（Ⅱ）从编号1到100的100张卡片中每次随即抽取一张，然后放回，用这种方式连续抽取20次，设抽得的20个号码互不相同的概率为 .证明： 【思路点拨】本题第（I）问是利用导数研究单调性最值的常规题，不难证明。第(II)问证明如何利用第（I）问结论是解决这个问题的关键也是解题能力高低的体现。【精讲精析】(I) 所以 在 上单增。当 时， 。（II） 由(I)，当x<0时， ,即有 故 于是 ,即 .利用推广的均值不等式： 另解： ，所以 是上凸函数，于是 因此 ，故 综上：
2011年高考数学广东卷
2011年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）
数学（理科）
本试题共4页，21小题，满分150分，考试用时120分钟。
注意事项：
1、 答卷前，考生务必用黑色自己的钢笔或签字笔将自己的姓名、和考生号、试室号、座位号，填写在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。
2、 选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。
3、 非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求做大的答案无效。
4、 作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再做答。漏涂、错涂、多涂的，答案无效。
5、 考生必须保持答题卡得整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
参考公式：柱体的体积公式 V=Sh其中S为柱体的底面积，h为柱体的高线性回归方程中系数计算公式 ，其中表示样本均值。N是正整数，则…）
一、 选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
，其中为虚数单位，则=
A． B. C. D．
2．已知集合 ∣为实数，且，为实数，且，则的元素个数为
A．0 B．1 C．2 D．3
3．若向量a，b，c满足a∥b且a⊥b，则
A．4 B．3 C．2 D．0
4．设函数和分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是
A．是偶函数 B．是奇函数
C．是偶函数 D．是奇函数
。若为上的动点，点的坐标为，则的最大值为
A． B． C．4 D．3
6．甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要在赢一次就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军，若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为
A． B． C． D．
7．如图1－3，某几何体的正视图（主视图）是平行四边形，侧视图（左视图）和俯视图都是矩形，则几何体的体积为
，如果有，则称S关于数的乘法是封闭的，若T,V是Z的两个不相交的非空子集，且有有，则下列结论恒成立的是
A.
中至少有一个关于乘法是封闭的 B.
D. 中每一个关于乘法都是封闭的
二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分。
，的系数是 （用数字作答）
等差数列前9项的和等于前4项的和。若，则k=____________.
函数在x=____________处取得极小值。
某数学老师身高176cm，他爷爷、父亲和儿子的身高分别是173cm、170cm和182cm。因儿子的身高与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为_____cm.
选择题（14---15题，考生只能从中选做一题）
（坐标系与参数方程选做题）已知两面线参数方程分别为和，它们的交点坐标为___________.
15.（几何证明选讲选做题）如图4，过圆外一点分别作圆的切线和割线交圆于,
且=7，是圆上一点使得=5，∠ =∠ , 则= 。解答题。本大题共6小题，满分80分。解答需写出文字说明、证明过程和演算步骤。
（本小题满分12分）
已知函数f(x)=2sin(x-),xR
求f()的值；
设α，β[0,],f(3α )=,f(3β 2π）=,求cos(α β）的值。
四、（本小题满分13分）
、乙两厂的产品质量，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽出取14件和5件，测量产品中的微量元素x,y的含量（单位：毫克）。下表是乙厂的5件产品的测量数据：
编号12345x***5180y7580777081
已知甲厂生产的产品共有98件，求乙厂生产的产品总数。
当产品中的微量元素x,y满足x≥175，y≥75,该产品为优等品。用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量。
从乙厂抽出的上述5件产品中，随机抽取2件，球抽取的2件产品中的优等品数的分布列极其均值（即数学期望）。18.(本小题满分13分)
在椎体P-ABCD中，ABCD是边长为1的棱形，且∠DAB=60，,PB=2, E,F分别是BC,PC的中点
（1）证明：AD 平面DEF
(2) 求二面角P-AD-B的余弦值
19.(本小题满分14分)
设圆C与两圆中的一个内切，另一个外切。
（1）求圆C的圆心轨迹L的方程
（2）已知点M，且P为L上动点，求的最大值及此时P的坐标.
20.（本小题共14分）
设b>0,数列满足a1=b，。
（1）求数列的通项公式；
（2）证明：对于一切正整数n，
21.（本小题共14分）
在平面直角坐标系xoy上，给定抛物线L:y=。实数p，q满足，x1，x2是方程
的两根，记。
（1）过点，，(p0≠ 0)作L的切线教y轴于点B。证明：对线段AB上任一点Q(p，q)有；
（2）设M(a，b)是定点，其中a，b满足a2-4b>0,a≠ 0。过设M(a，b)作L的两条切线，切点分别为，与y轴分别交与F,。线段EF上异于两端点的点集记为X。证明：M(a,b) X
（3）设D={(x,y)|y≤x-1,y≥(x 1)2-}。当点(p,q)取遍D时，求的最小值 （记为）和最大值（记为）
