高考数学函数，高中十二种基本函数

时间：2025-11-03 14:44 14 人浏览作者：常梦馨举报

1、数学开窍最佳方法 2、高中十二种基本函数

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;:定义域、值域以及相关的方程或不等式的解的问题;、图象以及相关的最值等问题;、(一)函数的定义1、传统定义:设在某一变化过程中有两个变量x和y,如果对于某一范围内x的每一个值,y都有的值和它对应,那么就说y是x的函数,x叫做自变量,y叫做因变量(函数).2、现代定义:设A、B是两个非空数集,如果按照某个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x ,在集合B中都有确定的数f(x)和它对应,那么就称 f：A→B为从集合A到集合B的一个函数,记作y=f(x),x∈,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y的值叫做函数值,函数值的集合｛f(x)|x∈A｝、认知:①注意到现代定义中"A、B是非空数集",因此,今后若求得函数定义域或值域为φ,则此函数不存在.②函数对应关系、定义域和值域是函数的三要素,,对应关系是核心,定义域是基础,当函数的定义域和对应法则确定之后,其值域也随之确定.(二).映射的概念将函数定义中的两个集合从非空数集扩展到任意元素的集合,、定义1:设A、B是两个集合,如果按照某种对应法则f,对于集合A中任何一个元素,在集合B中都有的元素和它对应,那么这样的对应(包括集合A、B及集合A到集合B的对应法则f)叫做集合A到集合B的映射,记作 f：A→B2、定义2:给定一个集合A到集合B的映射 f：A→B,且a∈A,b∈B,如果在此映射之下元素a和元素b对应,则将元素b叫做元素a的象, f：a→b,则b叫做a的象,、认知:映射定义的精髓在于"任一(元素)对应(元素)",,A中元素不可剩,允许B中有剩余；不可"一对多",允许"多对一".因此,根据B中元素有无剩余的情况,映射又可分为"满射"和"非满射" f：A→B是一个整体,具有方向性； f：A→B 与 f：B→A 一般情况下是不同的映射.（三）、函数的表示法表示函数的方法,常用的有解析法、列表法、、解析法:把两个变量的函数关系,用一个等式来表示,这个等式叫做函数的解析表达式,、列表法:,、图象法:,:函数符号的意义在函数的概念中,我们用符号"y=f(x)"表示"y是x的函数",对于运用解析法给出的函数y=f(x),其对应法则"f"表示解析式蕴含的对自变量x施加的"一套运算的法则",,对于函数f(x)=5 -2x 3(x>1)　①　对应法则"f"表示这样一套运算的框架:5(　) －2（　）＋3，（　）＞1．即f: 5(　) -2(　　 ) 3,(　　 )>1.　据此,我们可分别对函数值与函数表达式作以诠释和辩析:f(a):对自变量x的取值a实施上述运算后的结果,故有f(a)=5 -2a 3 (a>1);f(x):对自变量x实施上述运算后的结果,故有f(x)=5 -2x 3 (x>1);f(g(x)):对函数g(x)实施上述运算后的结果,于是有　f(g(x))=5 (x)-2g(x) 3 ( g(x)>1 )　　　　 ②感悟:函数符号意义之下的产物或推论有比较才能有鉴别,①、②,不难从中悟出这样的代换规律:f(x)的解析式f[g(x)]的表达式我们将上述替换形象地称之为"同位替换".显然,同位替换是在函数符号的意义下产生的函数特有的替换,它源于"等量替换"，又高于"等量替换"，对于同位替换,在两式不可能相等的条件下仍可操作实施,这是"等量替换"(x)的解析式导出f(x 1)的解析式,,在直角梯形OABC中,AB∥OC,BC⊥OC,且AB=1,OC=BC=2,直线l:x=t,截此梯形所得位于l左方的图形面积为S,则函数S=f(t)的大致图象是以下图形中(　　 )　　　　　　　　　分析1:立足于f(t)在t∈[0,1]=2x,　故当0≤t≤1时,　s＝，,由此否定A,B,D,:运用运动的观点,,D之间运动时,S随着t的增加而增加,并且增加的速度越来越快,即ΔS1, ΔS2..., ΔSn是递增的(ΔSi是单位时间内面积的增量),故排除A和B,对于C和D,由t∈[0,1]时f(t)= 的凹凸性可排除D,,梯形OABC各顶点的坐标分别为O(0,0),A(6,0),B(4,2),C(2,2),一条与y轴平行的直线l从点O开始作平行移动,,OM=x,并记梯形被直线l截得的在左侧的图形面积为y,求函数 y=f(x)的解析式,定义域及值域.　分析:如图,由于点M位置的不同,所得图形的形状与面积不同,故需要分类讨论,注意到决定l左侧图形形状的关键点,故以x=2,4 :　　(1)当0≤x≤2时,上述图形是一等腰RtΔ,此时, y＝ ,即 ;(2)当22)　∴以2x 1替代上式中的x得f(2x 1)=(2x 1)2 2(2x 1)-1 (2x 1>2)∴f(2x 1)=4x2 8x 2 (x>1/2 )(2)由已知得　∴以x替代上式中的得　f(x)=x2-1 (x≥1)∴f(x 1)=(x＋1)2-1 (x 1≥1)　即f(x 1)=x2 2x (x≥0)点评:上述求解也可运用换元法,但是,不论是"换元法",还是上面实施的"同位替换",它们都包括两个方面的替换:(1)解析式中的替换;　(2) 取值范围中的替换.　根据函数三要素的要求,. 设y=f(2x 1)的定义域为[-1,1],f(x-1)=x2,试求不等式f(1-x)f(b)≥f(c),则映射f的个数为　　　　　　 ;②若映射f满足f(a) f(b) f(c)=0,则映射f的个数为　　　　 ;③若映射f满足 f(a)-f(b)=f(c), 则映射f的个数为　　　　.(2)设A={1,2,3,4,5},B={6,7,8},从A到B的映射f满足f(1)≤f(2)≤f(3)≤f(4)≤f(5),则映射f的个数为　　　　 .分析:注意到f(a)的意义:在映射f：A→B之下A中元素a的象,故有f(a),f(b),f(c)∈,: (1)由已知得f(a),f(b),f(c)∈B①列表法：∵f(a)>f(b)≥f(c)　∴f(a)只能取0或1,f(c),以f(a)取值从大到小的次序列表考察:　　f(a)　　f(b)　　f(c)　　1　　0　　0　　1　　0　　-1　　1　　-1　　-1　　0　　-1　　-1　　由此可知符合条件的映射是4个.②列表法:注意到f(a) f(b) f(c)=0,又B中三个元素之和为0的情形只有两种:0 0 0;1 (-1) 0,以a的象f(a)的取值(从小到大)为主线列表考察　　f(a)　　f(b)　　f(c)　　0　　0　　0　　0　　1　　-1　　0　　-1　　1　　1　　0　　-1　　1　　-1　　0　　-1　　1　　0　　-1　　0　　1由此可知符合条件的映射有7个.③分类讨论：f(a)-f(b)=f(c) f(a)=f(b) f(c)(从小到大)展开讨论.（ i ）当象集合为单元素集合时,只有象集{0}满足已知条件,此时符合条件的映射f只有1个.（ ii ）当象集合为双元素集合时,满足条件的象集合为{-1,0}或{1,0} {-1,0}:-1=0 (-1),-1=(-1) 0;{1,0}:1=0 1,1=1 0此时符合条件的映射有4个.（ iii ）当象集合为三元素集合时,满足条件的象集合为{-1,0,1} {-1,0,1}: 0=1 (-1), 0=(-1) 1∴此时符合条件的映射f有2个于是综合(i)、(ii)、(iii)得符合条件的映射f的个数为7.(2)分类讨论:以象集合中元素的个数(从小到大)为主线展开讨论.(i)当象集合为单元素集时,象集为{6}或{7}或{8},故此时满足条件的映射f有3个;(ii)当象集合为双元素集时,先将A中元素分为两组,有种分法,又每两组的象有3种情形,故此时符合条件的映射f有 ×3=12个;(iii)当象集合为三元素集时,先将A中元素分为3组,有种分法，又每三组的象只有1种情形,故此时符合条件的映射f有 ×1=6个。于是综合(i)、(ii)、(iii)得符合条件的映射f的个数为3 12 6=:在认知f(λ)(λ∈A)的意义以及题设条件的意义的基础上,以象集元素的个数(从小到大)为主线展开讨论,是解决此类映射问题的通用方法(通性通法),. 已知函数f(t)对任意实数x,y满足f(x y)=f(x) f(y) xy 1,且f(-2)=-2.(1)求f(1)的值;　(2)试求满足f(t)=t的整数t的个数,:这是未给出具体的函数解析式,,循着"一般"与"特殊"之间的辩证关系,想到从"特殊"(特殊取值或特殊关系)入手去破解"一般",: (1)为了出现f(1),在上述恒等式中令x=1,y=-1得f(0)=f(1) f(-1)　　①　又令x=0,y=0得f(0)=-1　②令x=-1,y=-1得　　 f(-2)=2f(-1) 2　　∵f(-2)=-2,　　 ∴f(-1)=-2　 ③　∴将②、③代入①得f(1)=1.(2)为利用f(1)=1,在上述恒等式中令x=1得f(y 1)=f(y) y 2f(y 1)-f(y)=y 2　∴当t∈Z时,有f(t 1)-f(t)=t 2　④根据④,运用阶差法得　f(t)=f(1) [f(2)-f(1)]] ... [f(t)-f(t-1)] ∴f(t)=1 (1 2) (2 2) ... [(t-1) 2]=1 2(t-1) 　　即f(t)= 　　∴f(t)=t t2 t-2=0 (t-1)(t 2)=0 t=1或t=-2于是可知,满足f(t)=t的整数t只有两个:t=-2,t=: 函数f(x)当x取正整数时的问题，,这里运用(或借鉴)了数列求和的思想或方法(阶差法或分项法).看透问题,把握本质,解题时方能联想顺畅,. 高考真题(一)选择题1. 在y=2x, y=log2x, y=x2, y=cos2x这四个函数中,当0g(x)时,求函数 :对于(1),注意到k、b含在f(x)的解析式中,故从探求A、B点坐标切入,利用 = 建立方程或方程组;对于(2),则要注意立足于不等式f(x)>g(x)的解集，: (1)由已知得A(- ,0),B(0,b),从而 =( ,b)、又 =(2,2),故得 ∴所求k=1,b=2.(2) f(x)>g(x) x 2>x2-x-6 x2-2x-81,解关x的不等式 .分析: 对于(1),(2),则要注意求解分式不等式的基本过程:移项-通分-分解因式-转化(为整式不等式)、: 　(1) f(x)-x 12=0 -x 12=0　将x1=3,x2=4代入方程得解得 ∴f(x)=(2)原不等式 f(x)- (2-x)[ ]0※(I) 当10 12时,由(※)得12时, 原不等式的解集为(1,2)∪(k, ∞).点评:,若采用"根轴法"，则可使解答更为快捷准确,、Dg的函数y=f(x), y=g(x),规定:函数　　　　　(1) 若函数f(x)= ,g(x)=x2,写出函数h(x)的解析式;　　(2) 求问题(1)中函数h(x)的值域;(3) 若g(x)=f(x ),其中是常数,且 ∈ ,请设计一个定义域为R的函数y=f(x)及一个的值,使得h(x)=cos4x,: 对于(1),注意到h(x)为分段函数,探求函数解析式要立足于"分段探求,综合结论"(3),这里g(x)=f(x ),又注意到在大前提中h(x)的表达式以及此时f(x),g(x)的定义域均为R,可得h(x)=f(x) f(x ),又h(x)=cos4x,于是可由f(x) f(x )=cos4x入手展开联想与探求,这里的探求自然是从cos4x的"一分为二": 　(1)这里Df=(-∞,1)∪(1, ∞)　　 Dg=R　∴当x∈Df且x∈Dg,即x∈(-∞,1)∪(1, ∞) 时， ;当x Df且x ∈ Dg,即x=1时,h(x)=g(x)=1;　又x∈Df且x Dg的x不存在,故得(2)当x≠1时, =(x-1) 2　∴若x>1, 则x-1>0, h(x)≥4,当且仅当x=2时等号成立;若x3时,关于x的方程f(x)=f(a): 由于二次函数与反比例函数的形式确定,故运用"待定系数法"探求f1(x)与f2(x);对于(2),当对方程f(x)=f(a)直接求解感到困难时,要想到运用数形结合思想,: 　(1)由题意设f1(x)=ax2, f2(x)= (k>0), 　由f1(1)=1得a=1,故f1(x)=x2　　又y=f2(x)的图象与直线y=x的交点分别为A ,B ,则由|AB|=8得k=8,故f2(x)= 　　∴ f(x)=x2 (2)　证法一: 由f(x)=f(a)得x2 = =－x2 在同一坐标系内作出f2(x)= 与f3(x)= －x2 的大致图象,注意到f2(x)= 的图象是以坐标轴为渐近线,且位于第一、三象限的双曲线, f3(x)= －x2 的图象则是以点(0, )为顶点,(x)= 与f3(x)= －x2 的图象在第三象限有一个交点,　即f(x)=f(a)有一个负数解.　①又∵f2(2)=4, f3(2)= -4　∴当a>3时, f3(2)－f2(2)= -8>0,∴当a>3时,在第一象限f3(x)的图象上存在一点(2, f3(2))在y=f2(x) 图象的上方.∴y=f2(x)与y=f3(x)的图象在第一象限有两个交点.　　即方程f(x)=f(a)有两个正数解.　　　　　　②于是由①、②知,当a>3时,方程f(x)=f(a): 由f(x)=f(a)得x2 = (x-a)(x a- )=0∴x=a为方程f(x)=f(a)的一个实数解.　　　　　①又方程 x a- =0可化为ax2 －8=0　②由a>3得方程②的判别式Δ=a4 32a>0∴由②解得x2= ,x3=∵x20,　　 ∴x1≠x2 且x2≠x3　　　　　　　　　　　　③此时,若x1= x3,则有a= 3a2= a4=4aa=0 或 a=这与a>3矛盾,故有x1≠ x3　　　　　　　　　　　　　　　　　　　④于是由①、③、④知,:,显直观灵活,但本题的求解头绪较多且比较隐蔽;解法二立足于求解方程,感觉踏实稳健,,则要具体情况具体分析,不可一概而论.

高考数学函数，高中十二种基本函数

数学开窍最佳方法

初中数学开窍最佳方法如下：

数学开窍最佳方法

注重基础

学数学和修房子是一样的，最重要的就是要打好基础，根基不牢固，又怎么能继续往上修呢?在学习数学的时候，不要看一些基础知识过于简单就忽略它们，更不要太高估自己，直接去挑战最有难度的。要循序渐进，切不可一步登天。一认真听讲，复习巩固

学生在上课时必须全神贯注，做到耳到、眼到、心到、口到、手到。很多时候老师在课堂上面讲的，恰好就是最重要的，所以千万不要忽略老师在课堂上讲到的知识，而且一定要做好笔记(尽量详尽，标明重点、难点、细节)。

引导孩子提高自我调控的“适教”能力

教师经过一段时间的教学实践后，因自身对教学过程的不同理解和知识结构、思维特点、个性倾向、职业经历等原因，在教学方式、方法、策略的采用上表现出一定的倾向性，形成自己独特的、一贯的教学风格或特点。

作为一名学生，让老师去适应自己显然不现实，我们应该根据教师的特点，立足于自身的实际，优化学习策略，调控自己的学习行为，使自己的学法逐步适应老师的教法，从而使自己学得好、学得快。

多做练习，归纳总结

许多学生在学数学的时候，都会说“我做了很多题啊，为什么一到考试的时候还是不会?”。做练习的时候，是不是你自己独立思考完成的?有没有去归纳同样的题型的解题方法?能不能够举一反三?做练习不是完成任务，而是要检验你是否学会了、学懂了。更是对你所学知识的一个复习与巩固。题不在于做得多，而是要做得精。要学会吸取经验和教训，总结出方法来，这样你做的题才算是起了作用的。